像天氣預報這種複雜系統的確很難理解，但就一些簡單的問題，同樣隱藏著複雜的數學問題。而這些問題的答案往往會讓人大吃一驚。拋硬幣一定是公平的嗎？物種數量的消失可以用數學解釋嗎？匪夷所思的任意球後面又隱藏著什麼樣的數學呢？
拋硬幣真的是公平的嗎
1968年的歐洲足球錦標賽中，意大利和蘇聯在半決賽中經過加時賽仍未取得進球。當時互罰點球決勝的規則還沒被引入，而唯一剩下的決出勝者的辦法是擲硬幣。自羅馬時代起，人們就普遍認為使用硬幣是解決爭端的是一種公平的方式。畢竟，當它在空中旋轉時，我們不可能知道它將如何著陸。然而事實是這樣嗎？
理論上，如果你知道硬幣的位置，它旋轉了多少次，以及它何時著陸，你就能計算出硬幣最後哪面朝上。如果每次投擲硬幣的條件都相同，那麼通過嚴格的數學計算可以證明，每次都會產生相同的結果。
但是，擲硬幣的過程中是否隱藏著混沌的特徵呢？會不會像天氣預報一樣，這些因素中任何一個的微小變化最終會導致完全不同的結果呢？加州斯坦福大學的數學家珀斯·狄阿康尼斯決定測試擲硬幣是否像我們想像的那樣不可預測。
數學家珀斯·狄阿康尼斯
在他的工程師朋友的幫助下，狄阿康尼斯製造了一個機械拋硬幣機，可以反覆地複製拋硬幣的情況。當然，每次拋擲都有非常小的差異。狄阿康尼斯發現，每次他用他的機械拋硬幣機重複這個實驗時，硬幣總是以同樣的方式落地。之後通過訓練，他也可以做到每次都能以相同的方式拋硬幣，並能連續得到10個正面。
拋硬幣機
但是，普通人拋硬幣會怎樣呢？他們每次拋硬幣都會不自覺的改變拋擲的方式。看上去似乎硬幣的正反兩面出現的概率應該是一樣的。但事實並非如此。理查德·蒙哥馬利曾因證明了“落貓定理”而聲名鵲起。狄阿康尼斯找到了他，並與統計學家蘇珊·霍爾姆斯一起繼續研究拋硬幣的問題。
理查德·蒙哥馬利
他們借助每秒拍攝一萬幀的高速數碼相機，捕捉到了硬幣在空中的運動，而最終的發現可能會讓人吃驚：在51%的情況下，硬幣落地時朝上的面與彈出時相同。造成這個微小差異的原因似乎與陀螺儀原理有關。旋轉的硬幣在空中會像一個陀螺儀一樣運動，而且開始朝上的面會在空中出現的更久一些。這種差異可能對一次投擲無關緊要，但從長遠來看，它可能非常重要。
賭場中的輪盤賭輪
賭場是一個絕對關心長遠利益的行業，他們的利潤取決於長期的可能性。就像拋硬幣一樣，如果你能夠精確地預測輪盤賭輪中球的起始位置和速度，你就可以在理論上應用牛頓物理學來確定球的落點。
但這裡的問題和龐加萊發現的問題是一樣的：假若起始位置和速度有一個非常小的變化，會不會對球的終點產生戲劇性的影響呢？
事實上數學可以幫助你縮小球的下落範圍。在下注之前，你可以觀察球在輪子上旋轉幾次，這樣你就有機會分析球的軌跡並預測它的最終目的地。這不僅在理論上成立，實踐中也有人這麼做了。
曾經有三個東歐人就這樣做了，據說一個被形容為“時髦而美麗”的匈牙利女人和兩個“優雅”的塞爾維亞男人在2004年3月來到倫敦麗茲賭場，並用數學在輪盤賭中大賺了一筆。
他們使用了一個藏在手機裡的激光掃瞄儀，連接到電腦上，記錄下輪盤賭輪在兩圈內相對於球的旋轉情況。計算機計算出了一個由6個數字組成的區域，它預測球將會落在這個區域內。在輪盤第三次旋轉時，賭徒們開始下注。
在把他們的中獎幾率從1/37提高到1/6之後，第一天晚上他們就淨賺了10萬英鎊。而在第二晚，他們贏得了驚人的120萬英鎊。儘管他們被逮捕，但最終還是被釋放了，並被允許保留他們的獎金。法律團隊的結論是，他們並沒有對輪盤賭輪動手腳。這個成功的賭場實戰證明，球和輪盤開始位置的一個小變化並不總是會導致結果的截然不同。
誰殺死了旅鼠
幾年前，環保主義者注意到，旅鼠的數量似乎每四年就急劇下降一次。一種流行的說法是，每隔幾個季節，這些北極囓齒動物就會爬到高高的懸崖邊，然後縱身跳下，在下面的岩石上摔死。
1958年，迪士尼公司的自然歷史部門在其獲獎影片《白色荒野》中收錄了這起集體自殺事件的片段。然而在20世紀80年代，有報導稱《白色荒野》的攝製組偽造了整個場景。根據加拿大一部電視紀錄片的揭露，片中的旅鼠是專門為拍攝而買的。在拍攝中它們拒絕從懸崖上跳下去，最後攝製組成員只能“鼓勵”它們爬上懸崖。
《白色荒野》片段
如果不是集體自殺導致旅鼠數量每四年突然下降，那是什麼呢？數學家給出了答案：一個簡單的公式就可以告訴我們從一個季節到下一個季節會有多少旅鼠。
我們首先假設，在一定的食物供應以及捕食者等環境因素下，旅鼠可以維持的最大數量為N； L是上一季的旅鼠數量；而在新一季出生後，這個數量將會上升到K。假設這些旅鼠中有一部分將無法存活，死亡的比例就是上一季旅鼠的數量除以可能的最大數量，即L/N。所以在每個季節結束時有K·L/N只旅鼠死亡。為了簡化計算，我們假設最大種群數量 N=100。
這個數學模型雖然簡單，卻有一些驚人的結果。讓我們先來看看如果旅鼠的數量每年春天翻一番會發生什麼，也就是說 K=2L。其中，2L·L/N的旅鼠將會消失。假設第一季有L=30只旅鼠。那麼根據公式預測，在第二季結尾，將會有60-(60×30/100)=42只旅鼠。按照這樣計算，它們的數量會不斷增加，直到第四季，達到50只。
50只穩定的情形
從那時起，每個季節存活下來的旅鼠數量將保持在50只不變。令人驚訝的是，無論第一季開始時的原始數量是多少，每一季結束時死亡的旅鼠數量最終都將是最大數量的一半，並且這個數量將一直保持下去。所以當你達到50只旅鼠時，這個數字在下一個季節裡翻倍到100只，但是在這個季節結束時，會有100×50/100=50只旅鼠死亡，剩下的數量仍然是50。
於是我們得到結論：如果旅鼠的數量在每年春天翻一番，那麼無論開始時有多少旅鼠，種群數量都會達到一個穩定的值。
三倍多的情形
那麼如果每年旅鼠數量增加更多會發生什麼？我們假定旅鼠的數量從一個季節到下一個季節增加了三倍多一點，你會發現種群數量就不會穩定下來，而是在兩個值之間翻轉。在一個季節裡，能活到季節末的旅鼠數量相當多，但在接下來的季節裡，它的數量會大幅下降。
3.5倍的情形
因此當旅鼠變得多產時，其數量開始以一種奇怪的方式隨時間波動。如果數量增長3.5倍，旅鼠的總數就會在四個值之間波動，每四個季節重複一次這種模式。這就是我們發現在這四年中的某一年旅鼠數量會有顯著下降的原因，不是因為集體自殺，而是因為數學。
種群動態中真正有趣的變化發生在旅鼠數量增加到3.5699倍的時候，每季的數量似乎沒有任何規律。儘管使用的方程是同一個簡單的方程，但它已經開始產生混亂的結果。這個系統同樣適用於人口預測，當然所使用的公式不同也複雜得多，但其出現的現象卻很相似：一旦初始值超過某個閾值，人口的變化幾乎是不可預測的。
卡洛斯的任意球
足球大師在他們的足球生涯中經常踢出了一些非凡的任意球，這些球似乎違反了物理定律。也許最令人驚訝的是1997年卡洛斯代表巴西對法國的那場比賽中的任意球破門。
當卡洛斯跑上前去將球踢出時，球似乎飛偏了，球門一側的觀眾甚至開始躲閃。然而在最後一刻，足球突然轉向左邊，飛進了法國隊的球門。門將巴特茲簡直不敢相信他所看到的一切，他一動也沒動。
卡洛斯的進球完全沒有違背物理學，而是利用了足球運動的科學原理。旋轉對足球的影響可以導致一個不可思議的飛行軌跡。在不旋轉的情況下踢一個球，它就會像在一張固定的二維紙上運動一樣，沿著拋物線運動。但是讓球旋轉一下，它運動的數學就變成三維的了。除了上下移動，它還可以左右擺動。
當球在空中飛行時，是什麼力在推動它向左或向右運動呢？這被稱為馬格納斯效應，以德國數學家海因裡希·馬格納斯的名字命名，他在1852年第一個解釋了旋轉對球體的影響。這類似於飛機機翼的升力是如何產生的：流經機翼上下的空氣的速度不同，會導致機翼上方的壓力降低，下方的壓力升高，從而產生推動機翼上升的力。
為了讓球從右轉到左，卡洛斯踢了一腳，使球的左邊向他旋轉(繞著球的中心垂直旋轉)。球的旋轉有效地幫助空氣從左邊更快地越過球。這就導致了左側的空氣在球的上方以更快的速度流動，從而降低了壓力，就像飛機機翼頂部發生的情況一樣。
球右邊的壓力上升，因為那裡的空氣速度下降。增加的壓力轉化為一種力，從右向左，最終把球推入網內。
同樣的原理也可以讓高爾夫球飛的更遠。在這裡，高爾夫球的旋轉軸是水平的，垂直於球的運動。當球離開球座時，球杆的頭部使球的底部朝飛行方向旋轉。這降低了氣流的速度，並由於伯努利效應，增加了球下方的壓力，從而在球上產生了一個向上的力，抵消了一部分重力。事實上，球在空中飛的時候幾乎是失重的，就好像旋轉在幫助它沿著球道一直飛下去。
湍流
卡洛斯神奇任意球還有一個秘密，而這個秘密也影響了足球在空中的運行軌跡，這就是湍流。足球在空中飛行時後面的氣流可以是混亂的也可以是有規律的。混亂的氣流被稱為湍流，它發生在球快速移動的時候；而有規律的氣流被稱為層流，發生在足球移動較慢的時候。
不同的風速會引起的不同種類的氣流。當你拿著旗子慢慢走，它會漂來漂去；但如果把旗子舉到行駛的車窗外，它將瘋狂地四處拍打。其原因是空氣在像旗幟這樣的物體周圍以不同的速度在運動。在較低的速度下，氣流很容易預測，但在較高的速度下，氣流就混亂得多。
湍流變為層流對任意球有很關鍵的影響。湍流對球的阻力要小得多，所以當球快速移動時，自旋對它的方向沒有太大的影響。但當球減速並通過過渡點時，湍流讓位於層流，這會產生很大的阻力，就像有人急剎車。在那一刻，空氣阻力會增加150%，而此時旋轉的效果也顯現出來了：球會突然轉向。
羅伯特·卡洛斯同時也需要距離球門足夠遠，這樣他才能用力擊球，製造出混亂的氣流，並有時間讓球在接近球門時減速彎曲。當足球以每小時110公里的速度被踢出時，它周圍的氣流是混亂的，但在飛行到一半的時候，隨著速度的減慢，氣流的湍流就改變了。球的旋轉接管剩下的旅程，巴特茲就被這樣打敗了。
受湍流影響的不僅僅是足球比賽。我們的旅行方式也會受到湍流的影響。大多數人將“湍流”一詞與要求繫緊安全帶聯繫在一起。其實機翼上方的混亂氣流會增加飛機飛行時的空氣阻力，這意味著需要燃燒更多的燃料，成本也更高。
一項研究得出結論，湍流阻力減少10%可以增加航空公司40%的利潤。航空工程師一直在尋找改變機翼表面紋理的方法，以使氣流不那麼混亂。一個想法是在機翼上引入一排細小的平行凹槽，就像黑膠唱片上的凹槽一樣緊密地間隔。另一種方法是在機翼表面覆蓋一種齒狀的微小結構。有趣的是，鯊魚的皮膚上覆蓋著天然的齒狀結構，這表明大自然早在工程師之前就發現了如何克服流體的阻力。
儘管人們對足球或飛機機翼後的湍流進行了很深入的研究，但它仍然是數學中的一大謎團。好消息是現在我們已經有描述空氣或流體行為的方程式。而壞消息是沒有人知道如何求解。這些方程不僅僅對足球運動員很重要，氣象預報員需要它們來預測大氣中的氣流，醫療人員需要它們來瞭解人體的血液流動，天體物理學家則要利用這些弄清恆星在星系中是如何運動的。所有這些都由同一種數學方程控制，這些方程被稱為Navier-Stokes方程，以19世紀兩位數學家的名字命名。它們的常見表達式如下:
如果你看不懂這些方程中的一些符號，不要擔心，並不是很多人都懂！但對於那些懂數學符號的人來說，這些方程式掌握著預測未來的關鍵。它們非常重要，第一個完全解決它們的人將獲得100萬美元的獎金。
目前，我們還沒有辦法求解這類方程，只能使用其近似解。但由於這些方程背後隱藏混沌現象，一個小的誤差就會對結果產生巨大影響，所以用這些近似值作出的預測可能是完全錯誤的。
德國物理學家海森堡
偉大的德國物理學家海森堡，是量子物理學的奠基人之一。他曾經說過，“當我遇見上帝的時候，我要問他兩個問題：為什麼是相對論?為什麼是湍流？我相信他會回答第一個問題的。”
這就是數學家掌握的一些預測世界秘密武器，儘管這並不是全部，但也足以讓人震驚。我們對這個世界的瞭解還很少，不知道這個世界將來還會發生什麼。但正如我們看到的，有很多現象我們已經可以預測。或許將來，人們還會發現更多的方程，更多的數學來描述這個世界。也許有一天，數學能夠解釋整個世界，而那時，數學家將成為掌握整個世界的人。（全文完）
